Апостериорная плотность вероятности при синтезе систем слежения за амплитудой сигнала и СКО шума

Материал из SRNS
Перейти к: навигация, поиск
(Выражение для апостериорной плотности вероятности)
 
(не показана 1 промежуточная версия 1 участника)
Строка 5: Строка 5:
 
Полагаем, что на входе системы обработки на интервале времени <math>\!\!T=L{{T}_{d}}\!\!</math> наблюдается реализация  
 
Полагаем, что на входе системы обработки на интервале времени <math>\!\!T=L{{T}_{d}}\!\!</math> наблюдается реализация  
  
<math>{{y}_{k,l}}=S\left( {{t}_{k,l}},\text{ }\!\!\lambda\!\!\text{ },\text{ }\!\!\mu\!\!\text{ } \right)+\sigma _{n,k}^{{}}{{n}_{k,l}},</math> &nbsp; <math>l=\overline{1,L},</math>                 
+
:<math>{{y}_{k,l}}=S\left( {{t}_{k,l}},\text{ }\!\!\lambda\!\!\text{ },\text{ }\!\!\mu\!\!\text{ } \right)+\sigma _{n,k}^{{}}{{n}_{k,l}},</math> &nbsp; <math>l=\overline{1,L},</math>                 
 
                                                                  
 
                                                                  
 
где <math>\text{ }\!\!\lambda\!\!\text{ }</math>, <math>\text{ }\!\!\mu\!\!\text{ }</math> ― постоянные на интервале наблюдения информативные и неинформативные параметры сигнала; <math>\!\!n_{k,l}\!\!</math> — ДБГШ с нулевым математическим ожиданием и единичной дисперсией.
 
где <math>\text{ }\!\!\lambda\!\!\text{ }</math>, <math>\text{ }\!\!\mu\!\!\text{ }</math> ― постоянные на интервале наблюдения информативные и неинформативные параметры сигнала; <math>\!\!n_{k,l}\!\!</math> — ДБГШ с нулевым математическим ожиданием и единичной дисперсией.
Строка 19: Строка 19:
 
Модель сигнала может быть записана в виде
 
Модель сигнала может быть записана в виде
  
<math>S\left( {{t}_{k,l}},\mathbf{\lambda },\mathbf{\mu } \right)=A_{k}^{{}}{{h}_{ns,k}}{{G}_{dc}}\left( {{t}_{k,l}}-\tau _{k}^{{}} \right)\cos \left( {{\omega }_{0}}\left( {{t}_{k,l}}-t_{k,1}^{{}} \right)+\int\limits_{{{t}_{k,1}}}^{{{t}_{k,l}}}{\omega _{d,k}^{{}}dt}+\varphi _{k}^{{}} \right),</math>         
+
:<math>S\left( {{t}_{k,l}},\mathbf{\lambda },\mathbf{\mu } \right)=A_{k}^{{}}{{h}_{ns,k}}{{G}_{dc}}\left( {{t}_{k,l}}-\tau _{k}^{{}} \right)\cos \left( {{\omega }_{0}}\left( {{t}_{k,l}}-t_{k,1}^{{}} \right)+\int\limits_{{{t}_{k,1}}}^{{{t}_{k,l}}}{\omega _{d,k}^{{}}dt}+\varphi _{k}^{{}} \right),</math>         
 
                                                        
 
                                                        
 
где <math>\varphi _{k}^{{}}</math> распределена равномерно на интервале <math>\left[ -\pi ,\pi  \right]</math>.
 
где <math>\varphi _{k}^{{}}</math> распределена равномерно на интервале <math>\left[ -\pi ,\pi  \right]</math>.
Строка 30: Строка 30:
 
   A_{k}^{{}} & \sigma _{n,k}^{{}} & \tau _{k}^{{}} & \omega _{d,k}^{{}}  \\
 
   A_{k}^{{}} & \sigma _{n,k}^{{}} & \tau _{k}^{{}} & \omega _{d,k}^{{}}  \\
 
\end{matrix} \right|_{{}}^{T}</math>.
 
\end{matrix} \right|_{{}}^{T}</math>.
 
  
 
== Выражение для апостериорной плотности вероятности ==
 
== Выражение для апостериорной плотности вероятности ==
Строка 36: Строка 35:
 
После ряда преобразований получаем выражение для апостериорной плотности вероятности:
 
После ряда преобразований получаем выражение для апостериорной плотности вероятности:
  
<math>p\left( {{\mathbf{\lambda }}_{k}}|Y_{1}^{L} \right)=p_{ap}^{{}}\left( \mathbf{\lambda }_{k}^{{}} \right)\frac{1}{\left( \sigma _{n,k}^{{}}\sqrt{2\pi } \right)_{{}}^{L}}\exp \left( -\frac{\sum\limits_{l=1}^{L}{y_{k,l}^{2}}+E\left( {{\mathbf{\lambda }}_{k}} \right)}{2{{\sigma }_{n,k}}^{2}} \right)\times {{I}_{0}}\left( \frac{{{A}_{k}}}{{{\sigma }_{n,k}}^{2}}{{X}_{k}}\left( {{\mathbf{\lambda }}_{k}} \right) \right),</math>
+
:<math>p\left( {{\mathbf{\lambda }}_{k}}|Y_{1}^{L} \right)=p_{ap}^{{}}\left( \mathbf{\lambda }_{k}^{{}} \right)\frac{1}{\left( \sigma _{n,k}^{{}}\sqrt{2\pi } \right)_{{}}^{L}}\exp \left( -\frac{\sum\limits_{l=1}^{L}{y_{k,l}^{2}}+E\left( {{\mathbf{\lambda }}_{k}} \right)}{2{{\sigma }_{n,k}}^{2}} \right)\times {{I}_{0}}\left( \frac{{{A}_{k}}}{{{\sigma }_{n,k}}^{2}}{{X}_{k}}\left( {{\mathbf{\lambda }}_{k}} \right) \right),</math>
  
 
где
 
где
  
<math>X_{k}^{2}\left( {{\mathbf{\lambda }}_{k}} \right)\overset{df}{\mathop{=}}\,I_{k}^{2}+Q_{k}^{2};</math>  
+
:<math>X_{k}^{2}\left( {{\mathbf{\lambda }}_{k}} \right)\overset{df}{\mathop{=}}\,I_{k}^{2}+Q_{k}^{2};</math>  
  
<math>{{I}_{k}}\overset{df}{\mathop{=}}\,\sum\limits_{l=1}^{L}{y\left( {{t}_{k,l}} \right)G_{dc}^{{}}\left( t_{k,l}^{{}}-\tau _{k}^{{}} \right)\cos \left( {{\Phi }_{k,l}}\left( {{\mathbf{\lambda }}_{k}} \right) \right)};</math>
+
:<math>{{I}_{k}}\overset{df}{\mathop{=}}\,\sum\limits_{l=1}^{L}{y\left( {{t}_{k,l}} \right)G_{dc}^{{}}\left( t_{k,l}^{{}}-\tau _{k}^{{}} \right)\cos \left( {{\Phi }_{k,l}}\left( {{\mathbf{\lambda }}_{k}} \right) \right)};</math>
  
<math>{{Q}_{k}}\overset{df}{\mathop{=}}\,\sum\limits_{l=1}^{L}{y\left( {{t}_{k,l}} \right)G_{dc}^{{}}\left( t_{k,l}^{{}}-\tau _{k}^{{}} \right)\sin \left( {{\Phi }_{k,l}}\left( {{\mathbf{\lambda }}_{k}} \right) \right)},</math>
+
:<math>{{Q}_{k}}\overset{df}{\mathop{=}}\,\sum\limits_{l=1}^{L}{y\left( {{t}_{k,l}} \right)G_{dc}^{{}}\left( t_{k,l}^{{}}-\tau _{k}^{{}} \right)\sin \left( {{\Phi }_{k,l}}\left( {{\mathbf{\lambda }}_{k}} \right) \right)},</math>
  
 
в которых
 
в которых
  
<math>{{\Phi }_{k,l}}\left( {{\mathbf{\lambda }}_{k}} \right)\overset{df}{\mathop{=}}\,\omega _{0}^{{}}\left( {{t}_{k,l}}-{{t}_{k,1}} \right)+\int\limits_{{{t}_{k,1}}}^{{{t}_{k,l}}}{\omega _{d,k}^{{}}dt}.</math>
+
:<math>{{\Phi }_{k,l}}\left( {{\mathbf{\lambda }}_{k}} \right)\overset{df}{\mathop{=}}\,\omega _{0}^{{}}\left( {{t}_{k,l}}-{{t}_{k,1}} \right)+\int\limits_{{{t}_{k,1}}}^{{{t}_{k,l}}}{\omega _{d,k}^{{}}dt}.</math>
  
 
== Дальнейшие действия ==
 
== Дальнейшие действия ==

Текущая версия на 23:00, 16 апреля 2011

Начал проводить синтез СС, остановился перед задачей нахождения экстремума.

[править] Постановка задачи

Полагаем, что на входе системы обработки на интервале времени \!\!T=L{{T}_{d}}\!\! наблюдается реализация

{{y}_{k,l}}=S\left( {{t}_{k,l}},\text{ }\!\!\lambda\!\!\text{ },\text{ }\!\!\mu\!\!\text{ } \right)+\sigma _{n,k}^{{}}{{n}_{k,l}},   l=\overline{1,L},

где \text{ }\!\!\lambda\!\!\text{ }, \text{ }\!\!\mu\!\!\text{ } ― постоянные на интервале наблюдения информативные и неинформативные параметры сигнала; \!\!n_{k,l}\!\! — ДБГШ с нулевым математическим ожиданием и единичной дисперсией.

При статистическом подходе к решению задач оценивания параметры \text{ }\!\!\lambda\!\!\text{ }, \text{ }\!\!\mu\!\!\text{ } полагаются векторными СВ с заданными априорными плотностями вероятности {{p}_{ap}}\left( \text{ }\!\!\lambda\!\!\text{ } \right), {{p}_{ap}}\left( \text{ }\!\!\mu\!\!\text{ } \right).


Пусть решается задача оценки одного или нескольких параметров сигнала, полагая при этом, что начальная фаза сигнала \varphi _{k}^{{}} и символ навигационного сообщения \!\!h_{ns,k}\!\! являются СВ, причем \varphi _{k}^{{}} распределена равномерно на интервале \left[ -\pi ,\pi  \right], а {\!\!{h}_{ns,k}\!\!} принимает значения \pm 1 с равными вероятностями.


Модель сигнала может быть записана в виде

S\left( {{t}_{k,l}},\mathbf{\lambda },\mathbf{\mu } \right)=A_{k}^{{}}{{h}_{ns,k}}{{G}_{dc}}\left( {{t}_{k,l}}-\tau _{k}^{{}} \right)\cos \left( {{\omega }_{0}}\left( {{t}_{k,l}}-t_{k,1}^{{}} \right)+\int\limits_{{{t}_{k,1}}}^{{{t}_{k,l}}}{\omega _{d,k}^{{}}dt}+\varphi _{k}^{{}} \right),

где \varphi _{k}^{{}} распределена равномерно на интервале \left[ -\pi ,\pi  \right].


Рассмотрим некогерентный режим НАП, при котором не используется и не формируется информация о фазе сигнала \varphi _{k}^{{}} и символе НС \!\!{h}_{ns,k}\!\!, т.е. данные параметры полагаются неинформативным \mathbf{\mu }=\left| \begin{matrix}
   {{h}_{ns,k}}  \\
   \varphi _{k}^{{}}  \\
\end{matrix} \right|. Тогда вектор информативных параметров состоит из A_{k}^{{}}, \tau _{k}^{{}}, \omega _{d,k}^{{}} и \sigma _{n,k}^{{}}: \mathbf{\lambda }=\left| \begin{matrix}
   A_{k}^{{}} & \sigma _{n,k}^{{}} & \tau _{k}^{{}} & \omega _{d,k}^{{}}  \\
\end{matrix} \right|_{{}}^{T}.

[править] Выражение для апостериорной плотности вероятности

После ряда преобразований получаем выражение для апостериорной плотности вероятности:

p\left( {{\mathbf{\lambda }}_{k}}|Y_{1}^{L} \right)=p_{ap}^{{}}\left( \mathbf{\lambda }_{k}^{{}} \right)\frac{1}{\left( \sigma _{n,k}^{{}}\sqrt{2\pi } \right)_{{}}^{L}}\exp \left( -\frac{\sum\limits_{l=1}^{L}{y_{k,l}^{2}}+E\left( {{\mathbf{\lambda }}_{k}} \right)}{2{{\sigma }_{n,k}}^{2}} \right)\times {{I}_{0}}\left( \frac{{{A}_{k}}}{{{\sigma }_{n,k}}^{2}}{{X}_{k}}\left( {{\mathbf{\lambda }}_{k}} \right) \right),

где

X_{k}^{2}\left( {{\mathbf{\lambda }}_{k}} \right)\overset{df}{\mathop{=}}\,I_{k}^{2}+Q_{k}^{2};
{{I}_{k}}\overset{df}{\mathop{=}}\,\sum\limits_{l=1}^{L}{y\left( {{t}_{k,l}} \right)G_{dc}^{{}}\left( t_{k,l}^{{}}-\tau _{k}^{{}} \right)\cos \left( {{\Phi }_{k,l}}\left( {{\mathbf{\lambda }}_{k}} \right) \right)};
{{Q}_{k}}\overset{df}{\mathop{=}}\,\sum\limits_{l=1}^{L}{y\left( {{t}_{k,l}} \right)G_{dc}^{{}}\left( t_{k,l}^{{}}-\tau _{k}^{{}} \right)\sin \left( {{\Phi }_{k,l}}\left( {{\mathbf{\lambda }}_{k}} \right) \right)},

в которых

{{\Phi }_{k,l}}\left( {{\mathbf{\lambda }}_{k}} \right)\overset{df}{\mathop{=}}\,\omega _{0}^{{}}\left( {{t}_{k,l}}-{{t}_{k,1}} \right)+\int\limits_{{{t}_{k,1}}}^{{{t}_{k,l}}}{\omega _{d,k}^{{}}dt}.

[править] Дальнейшие действия

Далее надо решить задачу нахождения экстремума, что при получившемся выражении - не самое приятное занятие. Вероятно, более легкий и позитивный путь - синтез исходя из статистических эквивалентов корреляторов.

[ Хронологический вид ]Комментарии

(нет элементов)

Войдите, чтобы комментировать.

Персональные инструменты
Пространства имён

Варианты
Действия
SRNS Wiki
Рабочие журналы
Приватный файлсервер
QNAP Сервер
Инструменты